Funciones inyectiva, suprayectiva y biyectiva

 Matematicas Discretas

Funciones - Inyectiva, suprayectiva y biyectiva

By: Jorge Luis Huerta De La Torre

        Leovardo Mondragon Jr.

        Diego Angel Macario Jimenez

        Axel Torivio Flores

Figura 1: Diagrama de flechas, esquema implementado tambien en las funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas para representar los conjuntos relacionados.

UNA PEQUEÑA INTRODUCCION AL SIGUIENTE TEMA...

En el aspecto matematico se suele trabajar con diferentes metodos

para obtener los resultados que se esperan, y estas funciones mostra-

das en el tema que presentaremos a continuacion no son una excepcion.

Las funciones, tanto inyectivas como sobreyectivas como biyectivas

generan un aporte a la logica del como se trabaja con los factores de un

conjunto, y el como a su vez esto contribuye a la logica aplicada en la

computacion, sobre todo dado el como lo implementaria una persona en 

la carrera de ingenieria en sistemas computacionales.

Bueno, en matematicas, en concreto en matematicas discretas, se tiende

a recurrir al tema de las funciones, pero primero que todo...

¿Que es una Funcion?

En la mayoria de los casos, una funcion es aquella relacion o union

entre una magnitud o conjunto y otra, esto cuando el valor de uno 

depende del valor del otro. Relacion a traves de la cual a cada elemento

del primer conjunto se le asigna un unico elemento del segundo conjunto.

Figura 2: Al conjunto inicial o conjunto de partida tambien se le conoce como dominio; al conjunto final o conjunto de llegada, en tanto, se le denomina

codominio.

Ahora bien...  ¿Que es una funcion inyectiva, sobreyectiva o biyectiva? 

Vayamos por partes:

Funcion inyectiva

Cada elemento del conjunto de llegada corresponde 

como maximo a un elemento del conjunto de partida.

Figura 1.1: Puedes saber que una función es inyectiva si cada elemento de "B"(imagen) corresponde a un sólo elemento de "A"(dominio),

aunque no siempre los elementos de "B" deben contener el elemento»A».

Ejemplo: Aplicación inyectiva.

Funcion sobreyectiva

Cada elemento del conjunto de llegada le corresponde

por lo menos un elemento del conjunto de partida.

Figura 1.2: Para saber si una función es suprayectiva se debe considerar que para cada elemento de "B" siempre existirá un elemento de «A» y se expresa de la siguiente manera: f(a) = b.

Funcion biyectiva

Una función biyectiva es una función f que es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva. Es decir, si todo elemento del conjunto final Y tiene al menos un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde (condición de función sobreyectiva) y todos los elementos del conjunto inicial X tiene una única imagen en el conjunto final Y (condición de función inyectiva).

Figura 1.3: Podremos determinar que una función es biyectiva cuando cada elemento de "B" tiene solo un elemento de "A", sin que 

ningún elemento de "B" quede solo.

Ejemplo

Determinar que la funcion f(x)=2x+4 es inyectiva.

Si X₁, X₂ € Dom(f): f(X₁) = f(X₂) -> X₁=X₂

                 f(X₁) =X₁+4

               f(X₂) =2X₂+4

f(X₁) = f(X₂)

2X₁+4 = 2X₂+4

2X₁   = 2X₂

X₁ = X₂   Si es inyectiva.

Figura 2.1: Diagrama de flecha de relacion para representar el ejemplo de la funcion f(x)=2x+4.

Ejemplo 2

Determinar si f(x)=X² es inyectiva.

Si X₁, X₂ € Dom(f): f(X₁) = f(X₂) -> X₁=X₂

               f(X₁) = f(X₂)         f(X₁) = X₁²

               X₁² = X₂² f(X₂) = X₂²

               X₁²-X₂² = 0           a²-b² = (a-b) (a+b)

               (X₁-X₂) (X₁+x₂) = 0            X₁²-X₂²

               X₁-X₂ = 0                             X₁+X₂ = 0                           

               X₁ = X₂                  X₁ = -X₂

No es inyectiva.

EN CONCLUSION...

En gran medida, este metodo matematico es una de las bases fundamentales en

el ambito de la computacion, mas precisamente en la programacion. Y su estructura

se ha caracterizado por incluso ser implementada en la asignatura de calculo diferencial,

y algunas otras ramas de la algebra.

No obstante, a lo largo de la explicacion y reflexion del como trabajan las funciones

inyectivas, sobreyectivas y biyectivas, ¿Que consideras mas interesante o curioso con

respecto al uso de estas y su resolucion? ¿Es probable que se genere un mayor conocimiento

implementando este tipo de metodos o que se obtengan mejores resultados de ellos?

Now, Then we will present our topics covered before, this is

a little translate that we made for our english speaking readers.

And for a full experience we'll make it, so, this is the situation

that we show, with the kind of information we can provide us, dear

readers!

Thanks a lot!!

Injective, Surjective and biyective functions // English Translation

In mathemathic aspect, We usually work with different methods

to get expected results, and these functions display days in the subject that we will present next are not an exception. The functions, both injective, surjective and bijective generate a contribution to the logic of how to work with the factors of a set, and how this in turn contributes to the logic applied in the computation, especially given how a person would implement it in the engineering degree in computer systems.

Well, in mathematics, specifically in discrete mathematics, you tend to

to turn to the subject of functions, but first of all...

What is a Function?

In most cases, a function is that relation or union

between a magnitude or other set and, when the value of this one

it depends on the value of the other. Relationship through which each element

of the first set is assigned a unique element of the second set.

Figure 2: The initial set or starting set is also known as domain; the final set or arrival set, meanwhile, is called

codomain.

Now ... What is an injective, surjective or bijective function?

Let's go by parts:

Injective function

Each element of the arrival set corresponds

at most one element of the starting set.

Figure 1.1: You can know that a function is injective if each element of "B" (image) corresponds to a single element of "A" (domain),

although not always the elements of "B" must contain the element »A».

Example: Injective application.

Surjective function

Each element of the arrival set corresponds

at least one element of the starting set.

Figure 1.2: To know if a function is surjective, it must be considered that for each element of "B" there will always be an element of "A" and it is expressed as follows: f (a) = b.

Bijective function

A bijective function is a function f that is both injective and surjective. That is, if every element of the final set Y has at least one element of the initial set X to which it corresponds (surjective function condition) and all the elements of the initial set X have a single image in the final set Y (function condition injective).

Figure 1.3: We can determine that a function is bijective when each element of "B" has only one element of "A", without any element of "B" remaining alone.

Fuentes de inspiracion - Crestomatia: YouTube